CÂY NHỊ PHÂN

Chương 9 – CÂY NHỊ PHÂN

So với hiện thực liên tục của các cấu trúc dữ liệu, các danh sách liên kết có

những ưu điểm lớn về tính mềm dẻo. Nhưng chúng cũng có một điểm yếu, đó là sự tuần tự,     chúng được tổ chức theo cách mà việc di chuyển trên chúng chỉ có thể qua từng phần tử một. Trong chương này chúng ta khắc phục nhược điểm này bằng cách sử dụng các cấu trúc dữ liệu cây chứa con trỏ. Cây được dùng trong rất nhiều ứng dụng, đặc biệt trong việc truy xuất dữ liệu.

9.1. Các khái niệm cơ bản về cây

Một cây (tree) - hình 9.1- gồm một tập hữu hạn các nút (node) và một tập hữu hạn các cành (branch) nối giữa các nút. Cành đi vào nút gọi là cành vào (indegree), cành đi ra khỏi nút gọi là cành ra (outdegree). Số cành ra từ một nút gọi là bậc (degree) của nút đó. Nếu cây không rỗng thì phải có một nút gọi là nút gốc (root), nút này không có cành vào. Cây trong hình 9.1 có M là nút gốc. Các nút còn lại, mỗi nút phải có chính xác một cành vào. Tất cả các nút đều có thể có 0, 1, hoặc nhiều hơn số cành ra.

M

A           D          O

N        C               Y

E   L    S

B              T   X

M

-      A

-      -       N

-      -       C

(a)

-      -       -       B                                                                           M ( A ( N C ( B ) ) D O ( Y ( T X ) E L S ) )

-      D                                                                                                                                       (c)

-       O

-      -       Y

-       -       -       T

-      -       -       X

-      -       E

-      -       L

-      -       S (b)

Hình 9.1 – Các cách biểu diễn của cây

Nút lá (leaf) được định nghĩa như là nút của cây mà số cành ra bằng 0. Các nút không phải nút gốc hoặc nút lá thì được gọi là nút trung gian hay nút trong (internal node). Nút có số cành ra khác 0 có thể gọi là nút cha (parent) của các nút mà cành ra của nó đi vào, các nút này cũng được gọi là các nút con (child) của nó. Các nút cùng cha được gọi là các nút anh em (sibling) với nhau. Nút trên nút cha có thể gọi là nút ông (grandparent, trong một số  bài toán chúng ta cũng cần gọi tên như vậy để trình bày giải thuật).

Theo hình 9.1, các nút lá gồm: N, B, D, T, X, E, L, S; các nút trung gian gồm: A, C, O, Y. Nút Y là cha của hai nút T và X. T và X là con của Y, và là nút anh em với nhau.

Đường đi (path) từ nút n1 đến nút nk được định nghĩa là một dãy các nút n1, n2, …, nk sao cho ni là nút cha của nút ni+1 với 1≤ i< k. Chiều dài (length) đường đi này là số cành trên nó, đó là k-1. Mỗi nút có đường đi chiều dài bằng 0 đến chính nó. Trong một cây, từ nút gốc đến mỗi nút còn lại chỉ có duy nhất một đường đi.

Đối với mỗi nút ni, độ sâu (depth) hay còn gọi là mức (level) của nó chính là chiều dài đường đi duy nhất từ nút gốc đến nó cộng 1. Nút gốc có mức bằng 1. Chiều cao (height) của nút ni là chiều dài của đường đi dài nhất từ nó đến một nút lá. Mọi nút lá có chiều cao bằng 1. Chiều cao của cây bằng chiều cao của nút gốc. Độ sâu của cây bằng độ sâu của nút lá sâu nhất, nó luôn bằng chiều cao của cây.

Nếu giữa nút n1  và nút n2  có một đường đi, thì n1  đươc gọi là nút trước

(ancestor) của n2 và n2 là nút sau (descendant) của n1.

M là nút trước của nút B. M là nút gốc, có mức là 1. Đường đi từ M đến B là: M, A, C, B, có chiều dài là 3. B có mức là 4.

B là nút lá, có chiều cao là 1. Chiều cao của C là 2, của A là 3, và của M là 4 chính bằng chiều cao của cây.

Một cây có thể được chia thành nhiều cây con (subtree). Một cây con là bất kỳ một cấu trúc cây bên dưới của nút gốc. Nút đầu tiên của cây con là nút gốc của nó và đôi khi người ta dùng tên của nút này để gọi cho cây con. Cây con gốc A (hay gọi tắt là cây con A) gồm các nút A, N, C, B. Một cây con cũng có thể chia thành nhiều cây con khác. Khái niệm cây con dẫn đến định nghĩa đệ quy cho cây như sau:

Định nghĩa: Một cây là tập các nút mà

- là tập rỗng, hoặc

- có một nút gọi là nút gốc có không hoặc nhiều cây con, các cây con cũng là cây

Các cách biểu diễn cây

Thông thường có 3 cách biểu diễn cây: biểu diễn bằng đồ thị – hình 9.1a, biểu diễn bằng cách canh lề – hình 9.1b, và biểu diễn bằng biểu thức có dấu ngoặc – hình 9.1c.

9.2. Cây nhị phân

9.2.1. Các định nghĩa

Định nghĩa: Một cây nhị phân hoặc là một cây rỗng, hoặc bao gồm một nút gọi là nút gốc (root) và hai cây nhị phân được gọi là cây con bên trái và cây con bên phải của nút gốc.

Lưu ý rằng định nghĩa này là định nghĩa toán học cho một cấu trúc cây. Để

đặc tả cây nhị phân như một kiểu dữ liệu trừu tượng, chúng ta cần chỉ ra các tác vụ có thể thực hiện trên cây nhị phân. Các phương thức cơ bản của một cây nhị phân tổng quát chúng ta bàn đến có thể là tạo cây, giải phóng cây, kiểm tra cây rỗng, duyệt cây,…

Định nghĩa này không quan tâm đến cách hiện thực của cây nhị phân trong bộ nhớ. Chúng ta sẽ thấy ngay rằng một biểu diễn liên kết là tự nhiên và dễ sử dụng, nhưng các hiện thực khác như mảng liên tục cũng có thể thích hợp. Định nghĩa này cũng không quan tâm đến các khóa hoặc cách mà chúng được sắp thứ tự. Cây nhị phân được dùng cho nhiều mục đích khác hơn là chỉ có tìm kiếm truy xuất, do đó chúng ta cần giữ một định nghĩa tổng quát.

Trước khi xem xét xa hơn về các đặc tính chung của cây nhị phân, chúng ta hãy quay về định nghĩa tổng quát và nhìn xem bản chất đệ quy của nó thể hiện như thế nào trong cấu trúc của một cây nhị phân nhỏ.

Trường hợp thứ nhất, một trường hợp cơ bản không liên quan đến đệ quy, đó là một cây nhị phân rỗng.

Cách duy nhất để xây dựng một cây nhị phân có một nút là cho nút đó là gốc và cho hai cây con trái và phải là hai cây rỗng.

Với cây có hai nút, một trong hai sẽ là gốc và nút còn lại sẽ thuộc cây con. Hoặc cây con trái hoặc cây con phải là cây rỗng, và cây còn lại chứa chính xác chỉ

một nút. Như vậy có hai cây nhị phân khác nhau có hai nút. Hai cây nhị phân có hai nút có thể được vẽ như sau:

và

và đây là hai cây khác nhau. Chúng ta sẽ không bao giờ vẽ bất kỳ một phần nào của một cây nhị phân như sau:

do chúng ta sẽ không thể nói được nút bên dưới là con trái hay con phải của nút trên.

Đối với trường hợp cây nhị phân có ba nút, một trong chúng sẽ là gốc, và hai nút còn lại có thể được chia giữa cây con trái và cây con phải theo một trong các cách sau:

2 + 0                           1 + 1                            0 + 2

Do có thể có hai cây nhị phân có hai nút và chỉ có một cây rỗng, trường hợp thứ nhất trên cho ra hai cây nhị phân. Trường hợp thứ ba, tương tự, cho thêm hai cây khác. Trường hợp giữa, cây con trái và cây con phải mỗi cây chỉ có một nút, và chỉ có duy nhất một cây nhị phân có một nút nên trường hợp này chỉ có một cây nhị phân. Tất cả chúng ta có năm cây nhị phân có ba nút:

Hình 9.2- Các cây nhị phân có ba nút

Các bước để xây dựng cây này là một điển hình cho các trường hợp lớn hơn. Chúng ta bắt đầu từ gốc của cây và xem các nút còn lại như là các cách phân chia giữa cây con trái và cây con phải. Cây con trái và cây con phải lúc này sẽ là các trường hợp nhỏ hơn mà chúng ta đã biết.

Gọi N là số nút của cây nhị phân, H là chiều cao của cây thì,

Hmax = N, Hmin = ⎣log2N⎦ +1

Nmin = H, Nmax = 2H-1

Khoảng cách từ một nút đến nút gốc xác định chi phí cần để định vị nó. Chẳng hạn một nút có độ sâu là 5 thì chúng ta phải đi từ nút gốc và qua 5 cành trên đường đi từ gốc đến nó để tìm đến nó. Do đó, nếu cây càng thấp thì việc tìm đến các nút sẽ càng nhanh. Điều này dẫn đến tính chất cân bằng của cây nhị phân. Hệ số cân bằng của cây (balance factor) là sự chênh lệch giữa chiều cao của hai cây con trái và phải của nó:

B = HL-HR

Một cây cân bằng khi hệ số này bằng 0 và các cây con của nó cũng cân bằng. Một cây nhị phân cân bằng với chiều cao cho trước sẽ có số nút là lớn nhất có thể. Ngược lại, với số nút cho trước cây nhị phân cân bằng có chiều cao nhỏ nhất. Thông thường điều này rất khó xảy ra nên định nghĩa có thể nới lỏng hơn với các trị B = –1, 0, hoặc 1 thay vì chỉ là 0. Chúng ta sẽ học kỹ hơn về cây cân bằng AVL trong phần sau.

Một cây nhị phân đầy đủ (complete tree) là cây có được số nút tối đa với chiều cao của nó. Đó cũng chính là cây có B=0 với mọi nút. Thuật ngữ cây nhị phân gần như đầy đủ cũng được dùng cho trường hợp cây có được chiều cao tối thiểu của nó và mọi nút ở mức lớn nhất dồn hết về bên trái.

Hình 9.3 biểu diễn cây nhị phân đầy đủ có 31 nút. Giả sử loại đi các nút  19, 21,

23, 25, 27, 29, 31 ta có một cây nhị phân gần như đầy đủ.

Hình 9.3 – Cây nhị phân đầy đủ với 31 nút.

9.2.2. Duyệt cây nhị phân

Một trong các tác vụ quan trọng nhất được thực hiện trên cây nhị phân là duyệt cây (traversal). Một phép duyệt cây là một sự di chuyển qua khắp các nút của cây theo một thứ tự định trước, mỗi nút chỉ được xử lý một

lần duy nhất. Cũng như phép duyệt trên các cấu trúc dữ liệu khác, hành động mà chúng ta cần làm khi ghé qua một nút sẽ phụ thuộc vào ứng dụng.

Đối với các danh sách, các nút nằm theo một thứ tự tự nhiên từ nút đầu đến nút cuối, và phép duyệt cũng theo thứ tự này. Tuy nhiên, đối với các cây, có rất nhiều thứ tự khác nhau để duyệt qua các nút.

Có 2 cách tiếp cận chính khi duyệt cây: duyệt theo chiều sâu và duyệt theo chiều rộng.

Duyệt theo chiều sâu (defth-first traversal): mọi nút sau của một nút con được duyệt trước khi sang một nút con khác.

Duyệt theo chiều rộng (breadth-first traversal): mọi nút trong cùng một mức được duyệt trước khi sang mức khác.

9.2.2.1. Duyệt theo chiều sâu

Tại một nút cho trước, có ba việc mà chúng ta muốn làm: ghé nút này, duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải. Sự khác nhau giữa các phương án duyệt là chúng ta quyết định ghé nút đó trước hoặc sau khi duyệt hai cây con, hoặc giữa khi duyệt hai cây con.

Nếu chúng ta gọi công việc ghé một nút là V, duyệt cây con trái là L, duyệt cây con phải là R, thì có đến sáu cách kết hợp giữa chúng:

VLR    LVR    LRV    VRL    RVL    RLV.

Các thứ tự duyệt cây chuẩn

Theo quy ước chuẩn, sáu cách duyệt trên giảm xuống chỉ còn ba bởi chúng ta chỉ xem xét các cách mà trong đó cây con trái được duyệt trước cây con phải. Ba cách còn lại rõ ràng là tương tự vì chúng chính là những thứ tự ngược của ba cách chuẩn. Các cách chuẩn này được đặt tên như sau:

Các tên này được chọn tương ứng với bước mà nút đã cho được ghé đến. Trong

phép duyệt preorder, nút được ghé trước các cây con; trong phép duyệt inorder, nó được ghé đến giữa khi duyệt hai cây con; và trong phép duyệt postorder, gốc của

cây được ghé sau hai cây con của nó.

Phép duyệt inorder đôi khi còn được gọi là phép duyệt đối xứng (symmetric order), và postorder được gọi là endorder.

Các ví dụ đơn giản

Trong ví dụ thứ nhất, chúng ta hãy xét cây nhị phân sau:

1

2               3

Với phép duyệt preorder, gốc cây mang nhãn 1 được ghé đầu tiên, sau  đó phép

duyệt di chuyển sang cây con trái. Cây con trái chỉ chứa một nút có nhãn là 2, nút này được duyệt thứ hai. Sau đó phép duyệt chuyển sang cây con phải của nút gốc, cuối cùng là nút mang nhãn 3 được ghé. Vậy phép duyệt preorder sẽ ghé các nút theo thứ tự 1, 2, 3.

Trước khi gốc của cây được ghé theo thứ tự inorder, chúng ta phải duyệt cây con trái của nó trước. Do đó nút mang nhãn 2 được ghé đầu tiên. Đó là nút duy nhất trong cây con trái. Sau đó phép duyệt chuyển đến nút gốc mang nhãn 1, và cuối cùng duyệt qua cây con phải. Vậy phép duyệt inorder sẽ ghé các nút theo thứ tự 2, 1, 3.

Với phép duyệt postorder, chúng ta phải duyệt các hai cây con trái và phải trước khi ghé nút gốc. Trước tiên chúng ta đi đến cây con bên trái chỉ có một nút mang nhãn 2, và nó được ghé đầu tiên. Tiếp theo, chúng ta duyệt qua cây con phải, ghé nút 3, và cuối cùng chúng ta ghé nút 1. Phép duyệt postorder duyệt các nút theo thứ tự 2, 3, 1.

Ví dụ thứ hai phức tạp hơn, chúng ta hãy xem xét cây nhị phân dưới đây:

1

2

3

4                5

Tương tự cách làm trên chúng ta có phép duyệt preorder sẽ ghé các nút theo thứ tự 1, 2, 3, 4, 5. Phép duyệt inorder sẽ ghé các nút theo thứ tự 1, 4, 3, 5, 2. Phép duyệt postorder sẽ ghé các nút theo thứ tự 4, 5, 3, 2, 1.

Cây biểu thức

Cách chọn các tên preorder, inorder, và postorder cho ba phép duyệt cây trên không phải là tình cờ, nó liên quan chặt chẽ đến một trong những ứng dụng, đó là các cây biểu thức.

Một cây biểu thức (expression tree) được tạo nên từ các toán hạng đơn giản và các toán tử (số học hoặc luận lý) của biểu thức bằng cách thay thế các toán hạng đơn giản bằng các nút lá của một cây nhị phân và các toán tử bằng các nút bên trong cây. Đối với mỗi toán tử hai ngôi, cây con trái chứa mọi toán hạng và mọi toán tử thuộc toán hạng bên trái của toán tử đó, và cây con phải chứa mọi toán hạng và mọi toán tử thuộc toán hạng bên phải của nó.

Hình 9.4 – Cây biểu thức

Đối với toán tử một ngôi, một trong hai cây con sẽ rỗng. Chúng ta thường viết

một vài toán tử một ngôi phía bên trái của toán hạng của chúng, chẳng hạn dấu trừ (phép lấy số âm) hoặc các hàm chuẩn như log() và cos(). Các toán tử một ngôi

khác được viết bên phải của toán hạng, chẳng hạn hàm giai thừa ()! hoặc hàm bình phương ()2. Đôi khi cả hai phía đều hợp lệ, như phép lấy đạo hàm có thể viết d/dx phía bên trái, hoặc ()’ phía bên phải, hoặc toán tử tăng ++ có ảnh hưởng

khác nhau khi nằm bên trái hoặc nằm bên phải. Nếu toán tử được ghi bên trái, thì trong cây biểu thức nó sẽ có cây con trái rỗng, như vậy toán hạng sẽ xuất hiện bên phải của nó trong cây. Ngược lại, nếu toán tử xuất hiện bên phải, thì cây con phải của nó sẽ rỗng, và toán hạng sẽ là cây con trái của nó.

Một số cây biểu thức của một vài biểu thức đơn giản được minh họa trong hình

9.4. Hình 9.5 biểu diễn một công thức bậc hai phức tạp hơn. Ba thứ tự duyệt cây chuẩn cho cây biểu thức này liệt kê trong hình 9.6.

Hình 9.5 – Cây biểu thức cho công thức bậc hai.

Các tên của các phép duyệt liên quan đến các dạng Balan của biểu thức: duyệt

cây biểu thức theo preorder là dạng prefix, trong đó mỗi toán tử nằm trước các toán hạng của nó; duyệt cây biểu thức theo inorder là dạng infix (cách viết biểu

thức quen thuộc của chúng ta); duyệt cây biểu thức theo postorder là dạng postfix, mọi toán hạng nằm trước toán tử của chúng. Như vậy các cây con trái và cây con

phải của mỗi nút luôn là các toán hạng của nó, và vị trí tương đối của một toán tử so với các toán hạng của nó trong ba dạng Balan hoàn toàn giống với thứ tự tương đối của các lần ghé các thành phần này theo một trong ba phép duyệt cây biểu

thức.

Hình 9.6 – Các thứ tư duyệt cho cây biểu thức

Cây so sánh

Hình 9.7 – Cây so sánh để tìm nhị phân

Chúng ta hãy xem lại ví dụ trong hình 9.7 và ghi lại kết quả của ba phép

duyệt cây chuẩn như sau:

preorder: Jim Dot Amy Ann Guy Eva Jan Ron Kay Jon Kim Tim Roy Tom inorder:        Amy Ann Dot Eva Guy Jan Jim Jon Kay Kim Ron Roy Tim Tom postorder:Ann Amy Eva Jan Guy Dot Jon Kim Kay Roy Tom Tim Ron Jim

Phép duyệt inorder cho các tên có thứ tự theo alphabet. Cách tạo một cây so sánh như hình 9.7 như sau: di chuyển sang trái khi khóa của nút cần thêm nhỏ hơn khóa của nút đang xét, ngược lại thì di chuyển sang phải. Như vậy cây nhị phân trên đã được xây dựng sao cho mọi nút trong cây con trái của mỗi nút có thứ tự nhỏ hơn thứ tự của nó, và mọi nút trong cây con phải có thứ tự lớn hơn nó. Do đối với mỗi nút, phép duyệt inorder sẽ duyệt qua các nút trong cây con trái trước, rồi đến chính nó, và cuối cùng là các nút trong cây con phải, nên chúng ta có được các nút theo thứ tự.

Trong phần sau chúng ta sẽ tìm hiểu các cây nhị phân với đặc tính trên, chúng còn được gọi là các cây nhị phân tìm kiếm (binary search tree), do chúng rất có ích và hiệu quả cho yêu cầu tìm kiếm.

9.2.2.2. Duyệt theo chiều rộng

Thứ tự duyệt cây theo chiều rộng là thứ tự duyệt hết mức này đến mức kia, có thể từ mức cao đến mức thấp hoặc ngược lại. Trong mỗi mức có thể duyệt từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái. Ví dụ cây trong hình 9.7 nếu duyệt theo chiều rộng từ mức thấp đến mức cao, trong mỗi mức duyệt từ trái sang phải, ta có: Jim, Dot, Ron, Amy, Guy, Kay, Tim, Ann, Eva, Jan, Jon, Kim, Roy, Tom.

9.2.3. Hiện thực liên kết của cây nhị phân

Chúng ta hãy xem xét cách biểu diễn của các nút để xây dựng nên cây.

9.2.3.1. Cấu trúc cơ bản cho một nút trong cây nhị phân

Hình 9.8 – Cây nhị phân liên kết

Mỗi nút của một cây nhị phân (cũng là gốc của một cây con nào đó) có hai cây

con trái và phải. Các cây con này có thể được xác định thông qua các con trỏ chỉ đến các nút gốc của nó. Chúng ta có đặc tả sau:

template <class Entry>

struct Binary_node {

// Các thành phần.

Entry data;

Binary_node<Entry> *left; Binary_node<Entry> *right;

// constructors: Binary_node(); Binary_node(const Entry &x);

};

Binary_node chứa hai constructor đều khởi gán các thuộc tính con trỏ là NULL

mỗi khi đối tượng được tạo ra.

Trong hình 9.8, chúng ta thấy những tham chiếu NULL, tuy nhiên chúng ta có thể quy ước rằng các cây con rỗng và các cành đến nó có thể bỏ qua không cần hiển thị khi vẽ cây.

9.2.3.2. Đặc tả cây nhị phân

Một cây nhị phân có một hiện thực tự nhiên trong vùng nhớ liên kết. Cũng như các cấu trúc liên kết, chúng ta sẽ cấp phát động các nút, nối kết chúng lại với nhau. Chúng ta chỉ cần một con trỏ chỉ đến nút gốc của cây.

template <class Entry> class Binary_tree { public:

Binary_tree();

bool empty() const;

void preorder(void (*visit)(Entry &)); void inorder(void (*visit)(Entry &)); void postorder(void (*visit)(Entry &));

int size() const;

void clear();

int height() const;

void insert(const Entry &);

Binary_tree (const Binary_tree<Entry> &original);

Binary_tree & operator =(const Binary_tree<Entry> &original);

~Binary_tree();

protected:

//  Các hàm đệ quy phụ trợ:

void recursive_inorder(Binary_node<Entry>*sub_root,

void (*visit)(Entry &))

void recursive_preorder(Binary_node<Entry>*sub_root,

void (*visit)(Entry &))

void recursive_postorder(Binary_node<Entry>*sub_root,

void (*visit)(Entry &))

Binary_node<Entry> *root;

};

Với con trỏ root, có thể dễ dàng nhận ra một cây nhị phân rỗng bởi biểu thức

root == NULL;

và khi tạo một cây nhị phân mới chúng ta chỉ cần gán root bằng NULL.

template <class Entry> Binary_tree<Entry>::Binary_tree()

/*

post: Cây nhị phân rỗng được tạo ra.

*/

{

root = NULL;

}

Phương thức empty kiểm tra xem một cây nhị phân có rỗng hay không:

template <class Entry>

bool Binary_tree<Entry>::empty() const

/*

post: Trả về true nếu cậy rỗng, ngược lại trả về false.

*/

{

return root == NULL;

}

9.2.3.3. Duyệt cây

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng các phương thức duyệt một cây nhị phân liên kết theo cả ba phép duyệt cơ bản. Cũng như trước kia, chúng ta sẽ giả sử như chúng

ta đã có hàm visit để thực hiện một công việc mong muốn nào đó cho mỗi nút của cây. Và như các hàm duyệt cho những cấu trúc dữ liệu khác, con trỏ hàm

visit sẽ là một thông số hình thức của các hàm duyệt cây.

Trong các hàm duyệt cây, chúng ta cần ghé đến nút gốc và duyệt các cây con của nó. Đệ quy sẽ làm cho việc duyệt các cây con trở nên hết sức dễ dàng. Các cây con được tìm thấy nhờ các con trỏ trong nút gốc, do đó các con trỏ này cần được chuyển cho các lần gọi đệ quy. Mỗi phương thức duyệt cần gọi hàm đệ quy có một thông số con trỏ. Chẳng hạn, phương thức duyệt inorder được viết như sau:

template <class Entry>

void Binary_tree<Entry>::inorder(void (*visit)(Entry &))

/*

post: Cây được duyệt theo thứ tự inorder

uses: Hàm recursive_inorder

*/

{

recursive_inorder(root, visit);

}

Một cách tổng quát, chúng ta nhận thấy một cách tổng quát rằng bất kỳ

phương thức nào của Binary_tree mà bản chất là một quá trình đệ quy cũng được hiện thực bằng cách gọi một hàm đệ quy phụ trợ có thông số là gốc của cây. Hàm duyệt inorder phụ trợ được hiện thực bằng cách gọi đệ quy đơn giản như sau:

template <class Entry>

void Binary_tree<Entry>::recursive_inorder(Binary_node<Entry>*sub_root, void

(*visit)(Entry &))

/*

pre:  sub_root hoặc là NULL hoặc chỉ đến gốc của một cây con.

post: Cây con được duyệt theo thứ tự inorder.

uses: Hàm recursive_inorder được gọi đệ quy.

*/

{

if (sub_root != NULL) { recursive_inorder(sub_root->left, visit); (*visit)(sub_root->data); recursive_inorder(sub_root->right, visit);

}

}

Các phương thức duyệt khác cũng được xây dựng một cách tương tự bằng cách

gọi các hàm đệ quy phụ trợ. các hàm đệ quy phụ trợ có hiện thực như sau:

template <class Entry>

void Binary_tree<Entry>::recursive_preorder(Binary_node<Entry> *sub_root,

void (*visit)(Entry &))

/*

pre:  sub_root hoặc là NULL hoặc chỉ đến gốc của một cây con.

post: Cây con được duyệt theo thứ tự preorder.

uses: Hàm recursive_inorder được gọi đệ quy.

*/

{

if (sub_root != NULL) { (*visit)(sub_root->data); recursive_preorder(sub_root->left, visit); recursive_preorder(sub_root->right, visit);

}

}

template <class Entry>

void Binary_tree<Entry>::recursive_postorder(Binary_node<Entry> *sub_root,

void (*visit)(Entry &))

/*

pre:  sub_root hoặc là NULL hoặc chỉ đến gốc của một cây con.

post: Cây con được duyệt theo thứ tự postorder.

uses: Hàm recursive_inorder được gọi đệ quy.

*/

{

if (sub_root != NULL) { recursive_postorder(sub_root->left, visit); recursive_postorder(sub_root->right, visit); (*visit)(sub_root->data);

}

}

Chương trình duyệt cây theo chiều rộng luôn phải sử dụng đến CTDL hàng

đợi. Nếu duyệt theo thứ tự từ mức thấp đến mức cao, mỗi mức duyệt từ trái sang phải, trước tiên nút gốc được đưa vào hàng đợi. Công việc được lặp cho đến khi

hàng đợi rỗng: lấy một nút ra khỏi hàng đợi, xử lý cho nó, đưa các nút con của nó vào hàng đợi (theo đúng thứ tự từ trái sang phải). Các biến thể khác của phép duyệt cây theo chiều rộng cũng vô cùng đơn giản, sinh viên có thể tự suy nghĩ thêm.

Chúng ta để phần hiện thực các phương thức của cây nhị phân như height, size, và clear như là bài tập. Các phương thức này cũng được hiện thực dễ dàng bằng cách gọi các hàm đệ quy phụ trợ. Trong phần bài tập chúng ta cũng sẽ viết phương thức insert để thêm các phần tử vào cây nhị phân, phương thức này cần để tạo một cây nhị phân, sau đó, kết hợp với các phương thức nêu trên, chúng ta sẽ kiểm tra lớp Binary_tree mà chúng ta xây dựng được.

Trong phần sau của chương này, chúng ta sẽ xây dựng các lớp dẫn xuất từ cây nhị phân có nhiều đặc tính và hữu ích hơn (các lớp dẫn xuất này sẽ có các phương thức thêm hoặc loại phần tử trong cây thích hợp với đặc tính của từng loại cây). Còn hiện tại thì chúng ta không nên thêm những phương thức như vậy vào cây nhị phân cơ bản.

Mặc dù lớp Binary_tree của chúng ta xuất hiện chỉ như là một lớp vỏ mà các phương thức của nó đều đẩy các công việc cần làm đến cho các hàm phụ trợ, bản thân nó lại mang một ý nghĩa quan trọng. Lớp này tập trung vào nó nhiều hàm khác nhau và cung cấp một giao diện thuận tiện tương tự các kiểu dữ liệu trừu tượng khác. Hơn nữa, chính lớp mới có thể cung cấp tính đóng kín: không có nó thì các dữ liệu trong cây không được bảo vệ một cách an toàn và dễ dàng bị thâm nhập và sửa đổi ngoài ý muốn. Cuối cùng, chúng ta có thể thấy lớp Binary_tree còn làm một lớp cơ sở cho các lớp khác dẫn xuất từ nó hữu ích hơn.

9.3. Cây nhị phân tìm kiếm

Chúng ta hãy xem xét vấn đề tìm kiếm một khóa trong một danh sách liên kết. Không có cách nào khác ngoài cách di chuyển trên danh sách mỗi lần một phần tử, và do đó việc tìm kiếm trên danh sách liên kết luôn là tìm tuần tự. Việc tìm kiếm sẽ trở nên nhanh hơn nhiều nếu chúng ta sử dụng danh sách liên tục và tìm nhị phân. Tuy nhiên, danh sách liên tục lại không phù hợp với sự biến động dữ liệu. Giả sử chúng ta cũng cần thay đổi danh sách thường xuyên, thêm các phần tử mới hoặc loại các phần tử hiện có. Như vậy danh sách liên tục sẽ chậm hơn nhiều so với danh sách liên kết, do việc thêm và loại phần tử trong danh sách liên tục mỗi lần đều đòi hỏi phải di chuyển nhiều phần tử sang các vị trí khác. Trong danh sách liên kết chỉ cần thay đổi một vài con trỏ mà thôi.

Vấn đề chủ chốt trong phần này chính là:

Liệu chúng ta có thể tìm một hiện thực cho các danh sách có thứ tự mà trong đó chúng ta có thể tìm kiếm, hoặc thêm bớt phần tử đều rất nhanh?

Cây nhị phân cho một lời giải tốt cho vấn đề này. Bằng cách đặt các entry của một danh sách có thứ tự vào trong các nút của một cây nhị phân, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể tìm một khóa cho trước qua O(log n) bước, giống như tìm nhị phân, đồng thời chúng ta cũng có giải thuật thêm và loại phần tử trong O(log n) thời gian.

Định nghĩa: Một cây nhị phân tìm kiếm (binary search tree -BST) là một cây hoặc rỗng hoặc trong đó mỗi nút có một khóa (nằm trong phần dữ liệu của nó) và thỏa các điều kiện sau:

1. Khóa của nút gốc lớn hơn khóa của bất kỳ nút nào trong cây con trái của nó.

2. Khóa của nút gốc nhỏ hơn khóa của bất kỳ nút nào trong cây con phải của nó.

3. Cây con trái và cây con phải của gốc cũng là các cây nhị phân tìm kiếm.

Hai đặc tính đầu tiên mô tả thứ tự liên quan đến khóa của nút gốc, đặc tính

thứ ba mở rộng chúng đến mọi nút trong cây; do đó chúng ta có thể tiếp tục sử dụng cấu trúc đệ quy của cây nhị phân. Chúng ta đã viết định nghĩa này theo

cách mà nó bảo đảm rằng không có hai phần tử trong một cây nhị phân tìm kiếm

có cùng khóa, do các khóa trong cây con trái chính xác là nhỏ hơn khóa của gốc, và các khóa của cây con phải cũng chính xác là lớn hơn khóa của gốc. Chúng ta có thể thay đổi định nghĩa để cho phép các phần tử trùng khóa. Tuy nhiên trong phần này chúng ta có thể giả sử rằng:

Không có hai phần tử trong một cây nhị phân tìm kiếm có trùng khóa.

Các cây nhị phân trong hình 9.7 và 9.8 là các cây nhị phân tìm kiếm, do quyết định di chuyển sang trái hoặc phải tại mỗi nút dựa trên cách so sánh các khóa trong định nghĩa của một cây tìm kiếm.

9.3.1. Các danh sách có thứ tự và các cách hiện thực

Đã đến lúc bắt đầu xây dựng các phương thức C++ để xử lý cho cây nhị phân tìm kiếm, chúng ta nên lưu ý rằng có ít nhất là ba quan điểm khác nhau dưới đây:

• Chúng ta có thể xem cây nhị phân tìm kiếm như một kiểu dữ liệu trừu tượng mới với định nghĩa và các phương thức của nó;

• Do cây nhị phân tìm kiếm là một dạng đặc biệt của cây nhị phân, chúng ta có

thể xem các phương thức của nó như các dạng đặc biệt của các phương thức của cây nhị phân;

• Do các phần tử trong cây nhị phân tìm kiếm có chứa các khóa, và do chúng được gán dữ liệu để truy xuất thông tin theo cách tương tự như các danh sách có thứ tự, chúng ta có thể nghiên cứu cây nhị phân tìm kiếm như là một hiện

thực mới của kiểu dữ liệu trừu tượng danh sách có thứ tự (ordered list ADT).

Trong thực tế, đôi khi các lập trình viên chỉ tập trung vào một trong ba quan điểm trên, và chúng ta cũng sẽ như thế. Chúng ta sẽ đặc tả lớp cây nhị phân tìm kiếm dẫn xuất từ cây nhị phân. Như vậy, lớp cây nhị phân của chúng ta lại biểu diễn cho một kiểu dữ liệu trừu tượng khác. Tuy nhiên, lớp mới sẽ thừa kế các phương thức của lớp cây nhị phân trước kia. Bằng cách này, sự sử dụng lớp thừa kế nhấn mạnh vào hai quan điểm trên. Quan điểm thứ ba thường được nhìn thấy trong các ứng dụng của cây nhị phân tìm kiếm. Chương trình của người sử dụng có thể dùng lớp của chúng ta để giải quyết các bài toán sắp thứ tự và tìm kiếm liên quan đến danh sách có thứ tự.

Chúng ta đã đưa ra những khai báo C++ cho phép xử lý cho cây nhị phân. Chúng ta sẽ sử dụng hiện thực này của cây nhị phân làm cơ sở cho lớp cây nhị phân tìm kiếm.

template <class Record>

class Search_tree: public Binary_tree<Record> {

public:

Error_code insert(const Record &new_data); Error_code remove(const Record &old_data); Error_code tree_search(Record &target) const;

private: //  Các hàm đệ quy phụ trợ.

};

Do lớp cây nhị phân tìm kiếm thừa kế từ lớp nhị phân, chúng ta có thể dùng

lại các phương thức đã định nghĩa trên cây nhị phân tổng quát cho cây nhị phân tìm kiếm. Các phương thức này là constructor, destructor, clear, empty, size, height, và các phương thức duyệt preorder, inorder, postorder. Để thêm vào các phương thức này, một cây nhị phân tìm kiếm cần thêm các phương thức chuyên biệt hóa như insert, remove, và tree_search.

9.3.2. Tìm kiếm trên cây

Phương thức mới quan trọng đầu tiên của cây nhị phân tìm kiếm là: tìm một phần tử với một khóa cho trước trong cây nhị phân tìm kiếm liên kết. Đặc tả của phương thức như sau:

Error_code Search_tree<Record> :: tree_search (Record &target) const;

post: Nếu có một phần tử có khóa trùng với khóa trong target, thì target được chép đè bởi phần tử này, phương thức trả về success; ngược lại phương thức trả về not_present.

Ở đây chúng ta dùng lớp Record như đã mô tả trong chương 7. Ngoài thuộc

tính thuộc lớp Key dành cho khóa, trong Record có thể còn nhiều thành phần dữ liệu khác. Trong các ứng dụng, phương thức này thường được gọi với thông số target chỉ chứa trị của thành phần khóa. Nếu tìm thấy khóa cần tìm, phương thức sẽ bổ sung các dữ liệu đầy đủ vào các thành phần khác còn lại của Record.

9.3.2.1. Chiến lược

Để tìm một khóa, trước tiên chúng ta so sánh nó với khóa của nút gốc trong cây. Nếu so trùng, giải thuật dừng. Ngược lại, chúng ta đi sang cây con trái hoặc cây con phải và lặp lại việc tìm kiếm trong cây con này.

Ví dụ, chúng ta cần tìm tên Kim trong cây nhị phân tìm kiếm hình 9.7 và 9.8. Chúng ta so sánh Kim với phần tử tại nút gốc, Jim. Do Kim lớn hơn Jim theo thứ tự  alphabet, chúng ta đi sang phải và tiếp tục so sánh Kim với Ron. Do Kim nhỏ hơn Jon, chúng ta di chuyển sang trái, so sánh Kim với Kay. Chúng ta lại di chuyển sang phải và gặp được phần tử cần tìm.

Đây rõ ràng là một quá trình đệ quy, cho nên chúng ta sẽ hiện thực phương thức này bằng cách gọi một hàm đệ quy phụ trợ. Liệu điều kiện dừng của việc tìm kiếm đệ quy là gì? Rõ ràng là, nếu chúng ta tìm thấy phần tử cần tìm, hàm sẽ kết thúc thành công. Nếu không, chúng ta sẽ cứ tiếp tục tìm cho đến khi gặp một cây rỗng, trong trường hợp này việc tìm kiếm thất bại.

Hàm đệ quy tìm kiếm phụ trợ sẽ trả về một con trỏ chỉ đến phần tử được tìm thấy. Mặc dù con trỏ này có thể được sử dụng để truy xuất đến dữ liệu lưu trong đối tượng cây, nhưng chỉ có các hàm là những phương thức của cây mới có thể gọi hàm tìm kiếm phụ trợ này (vì chỉ có chúng mới có thể gởi thuộc tính root của cây làm thông số). Như vậy, việc trả về con trỏ đến một nút sẽ không vi phạm đến tính đóng kín của cây khi nhìn từ ứng dụng bên ngoài. Chúng ta có đặc tả sau đây của hàm tìm kiếm phụ trợ.

Binary_node<Record> *Search_tree<Record> :: search_for_node

(Binary_node<Record> *sub_root, const Record &target) const;

pre: sub_root hoặc là NULL hoặc chỉ đến một cây con của lớp Search_tree.

post:Nếu khóa của target không có trong cây con sub_tree, hàm trả về NULL; ngược lại, hàm

trả về con trỏ đến nút chứa target.

9.3.2.2. Phiên bản đệ quy

Cách đơn giản nhất để viết hàm tìm kiếm trên là dùng đệ quy: